讨论常数a的值，确定曲线y=aex与y=1+x的公共点的个数．

admin2016-04-14 116

问题讨论常数a的值，确定曲线y=ae^x与y=1+x的公共点的个数．

选项

答案若a=0，则y=ae^x成为y=0，它与y=1+x有且仅有1个交点x₀=－1，y₀=0．以下设a≠0．令f(x)=ae^x－1－x，f’(x)=ae^x一1．若a＜0，则f’(x)＜0．f(－∞)＞0，f(+∞)＜0，存在唯一公共点．若0＜a＜1，则由f’(x)=0得唯一驻点x₀=[*] f(－∞)＞0，[*] f(+∞)＞0，又 f"(x)=ae^x＞0．所以有且仅有2个公共点．若a＞1，则由f’(x)=0得唯一驻点x₀=[*] f(x₀)=lna＞0，f"(x)=ae^x＞0，最小值 f(x₀)=lna＞0，所以无公共点．若a=1，有f(0)=0，f’(0)=0，f"(x)=e^x＞0，所以最小值f(0)=0，存在唯一公共点．

解析

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考研数学一

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