设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．

admin2019-01-14 72

问题设α₁，α₂，…，α_s是n维向量组，r(α₁，α₂，…，α_s)=r，则( )不正确．

选项 A、如果r=n，则任何n维向量都可用α₁，α₂，…，α_s线性表示．
B、如果任何n维向量都可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，则r=n．
C、如果r=s，则任何n维向量都可用α₁，α₂，…，α_s唯一线性表示．
D、如果r＜n，则存在n维向量不能用α₁，α₂，…，α_s线性表示．

答案C

解析利用“用秩判断线性表示”的有关性质．
当r=n时，任何n维向量添加进α₁，α₂，…，α_s时，秩不可能增大，从而(A)正确．
如果(B)的条件成立，则任何n维向量组β₁，β₂，…，β_t都可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，从而r(β₁，β₂，…，β_t)≤r(α₁，α₂，…，α_t)．如果取β₁，β₂，…，β_n是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得
n=r(β₁，β₂，…，β_n)≤r(α₁，α₂，…，α_s)≤n，从而r(α₁，α₂，…，α_s)=n，(B)正确．
(D)是(B)的逆否命题，也正确．
由排除法，得选项应该为(C)．下面分析为什么(C)不正确．
r=s只能说明α₁，α₂，…，α_s线性无关，如果r＜n，则用(B)的逆否命题知道存在n维向量不可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，因此(C)不正确．

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考研数学一

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