首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
admin
2017-07-28
56
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证:
[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
即证[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.考察F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt, 若能证明F(x)>0(x∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt,易知F(x)在[0,1]可导,且 F(0)=0,F’(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt—f
2
(x)]. 由条件知,f(x)在[0,1]单调上升,f(x)>f(0)=0(x∈(0,1]),从而F’(x)与g(x)=2∫
0
x
f(t)dt—f
2
(x)同号.再考察 g’(x)=2f(x)[1一f’(x)]>0(x∈(0,1)), g(x)在[0,1]连续,于是g(x)在[0,1]单调上升,g(x)>g(0)=0(x∈(0,1]),也就有F’(x)>0(x∈(0,1]),即F(x)在[0,1]单调上升,F(x)>F(0)=0(x∈(0,1]).因此 F(1)=[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.即结论成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Ou4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
假设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立,且同分布,P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(i=1,2,3,4),求行列式的概率分布.
则().
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|=x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z).
设总体X的分布函数为F(x),(X1,X2,…,Xn)是取自此总体的一个子样,若F(x)的二阶矩阵存在,为子样均值,试证(Xi-)与(Xj-)的相关系数j=1,2,…,n.
(2010年试题,18)求幂级数的收敛域与和函数.
下列三个命题①设的收敛域为(一R,R),则的收敛域为(一R,R);②没幂级数条件收敛,则它的收敛半径R=1;③设幂级数的收敛半径分别为R1,R2,则的收敛半径R=min(R1,R2)中正确的个数是
设(X,Y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0)上服从均匀分布,令求U与V的相关系数.
当x→0时,下列无穷小量中阶数最高的是
设l为圆周一周,则空间第一型曲线积分x2ds=_________.
已知二次曲面x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a-2)yz=1是椭球面,则a的取值为_______.
随机试题
薪酬对员工、企业及社会的功能。
化脓性关节炎早期诊断中,最有价值的方法是
下列关于K—B纸片扩散法操作的描述,错误的是
腹部泌尿系平片(KUB)影像细节显示指标为
消防安全组织人员基本分为()。
用人单位在满足一定条件下可以延长工作时间,但是每月不得超过()小时。
个体产生新奇独特的、有社会价值的产品能力或特性称之为______。
具有方向性的过电流保护的主要组成元件有()。
定时器的Interval属性的值是一个整数,它表示的是
Thegovernmentmustincreasethe______ofreformstoavoidfurtherbloodshed.
最新回复
(
0
)