首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证: [∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
admin
2017-07-28
30
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f’(x)<1(x∈(0,1)),求证:
[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
即证[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.考察F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt, 若能证明F(x)>0(x∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt,易知F(x)在[0,1]可导,且 F(0)=0,F’(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt—f
2
(x)]. 由条件知,f(x)在[0,1]单调上升,f(x)>f(0)=0(x∈(0,1]),从而F’(x)与g(x)=2∫
0
x
f(t)dt—f
2
(x)同号.再考察 g’(x)=2f(x)[1一f’(x)]>0(x∈(0,1)), g(x)在[0,1]连续,于是g(x)在[0,1]单调上升,g(x)>g(0)=0(x∈(0,1]),也就有F’(x)>0(x∈(0,1]),即F(x)在[0,1]单调上升,F(x)>F(0)=0(x∈(0,1]).因此 F(1)=[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx>0.即结论成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Ou4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设f(x)为R上不恒等于零的奇函数,且f’(0)存在,则函数g(x)=f(x)/x()。
函数f(x)=展开成x的幂级数为___________.
设λ0是n阶矩阵A的特征值,且齐次线性方程组(λ0E-A)X=0的基础解系为η1,η2,则A的属于λ0的全部特征向量为().
设a1,a2,a3是四元非齐次方程组Ax=b的三个解向量,且秩r(A)=3,a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)T,c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解x=().
(2011年试题,二)设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分=______________.
(2009年试题,16)设an为曲线y=xn与y=xn+1(n=1,2,…)所围成区域的面积,记s1=.求s1与s2的值.
用洛必达法则求下列极限:
设L是圆周(x一a)2+(y一a)2=1的逆时针方向,f(x)恒正且连续,试证
求下列曲面的面积:(Ⅰ)半球面z=及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S;(Ⅱ)锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S.
设Pdx+Qdy=,求u(u,y),使du=Pdx+Qdy.
随机试题
太平天国定都南京是在()
每于经期,天亮前大便泄泻,腰膝酸软,头晕耳鸣,畏寒肢冷,其辨证为
液压强度试验常用水进行,试验压力为设计压力的( )倍。
背景某公司中标了日消纳量为150t的大型垃圾填埋场工程,项目部技术负责人编制工程施工组织设计。施工组织设计中包括了工程概况和特点、施工方案、施工进度计划、施工平面图设计、质量计划等内容。问题在编制施工进度计划时一般按哪六个步骤进行?
我国《证券法》规定,上市公司有()情形之一的,由证券交易所决定暂停其股票上市。
某银行客户经理的下列行为中,违反了《银行业从业人员职业操守》中“监管规避”的原则是()。
劳动法律包括()。
下列含铁量最低的食物是()。
下列对派生类的描述中,(41)是错误的。
AManycompaniesintheU.S.begintorealisethatinvestorsdemandfinancialreportingtobetrulypresented:creativeaccoun
最新回复
(
0
)