2. 公务员
  3. 如图所示，在长方体ABClD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4． (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF⊥平面A1ED．

如图所示，在长方体ABClD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4． (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF⊥平面A1ED．

admin2015-12-09  15
问题 如图所示，在长方体ABClD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4．
    (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
    (2)证明：AF⊥平面A1ED．
选项
答案(1)由已知条件建立空间直角坐标系，如下图所示，长方体的棱AB为χ轴，棱AD为y轴，棱AA1为z轴．设B点坐标为(1，0，0)，因为AB：AD：AA1＝1：2：4，则D(0，2，0)，A1(0，0，4)，又CF＝AB＝2CE，所以E(1，[*]，0)，F(1，2，1)．所以[*]． 故异面直线EF和DA1所成的角的余弦值为 cos[*] [*] (2)根据(1)得，[*](0，－2，4)，[*]，所以[*]＝0×1＋(－2)×2＋4×1＝0，[*]＝1×1＋[*]×2＋(－4)×1＝0，故[*]， 即DA1⊥AF，A1E⊥AF，又因为DA1[*]平面A1ED，A1E[*]平面A1ED，且DA1∩A1E＝A1，所以AF⊥平面A1ED．
解析
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