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[2012年] 设 当实数a为何值时，方程组AX=β有无穷多解，并求其通解．

admin2019-05-10  55
问题 [2012年]  设
当实数a为何值时，方程组AX=β有无穷多解，并求其通解．
选项
答案分析参数a取何值时秩(A)=秩([A :β])＜4，从而AX=β有无穷多解，进一步写出其通解． 为使秩(A)＜4，必有∣A∣20，因而a=1或a=一1．当a=1时，用初等行变换易化为 [*] 因秩(A)=3而秩([*])=秩([A:β])=4，故AX=β当a=1时无解． 当a=一1时，用初等行变换易化为含最高阶单位矩阵的阶梯形矩阵： [*] 因秩(A)一秩([A:β])=3＜4，故该方程组当a=1时有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到其对应的齐次方程组的一个基础解系只含一个解向量α=[1，1，1，1]T，原方程组的一个特解η=[0，一1，0，0]T，故原方程组的通解为 X=kα+η=k[1，1，1，1]T+[0，一1，0，0]T， k为任意常数．
解析
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考研数学二

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