设f(x)在[0,+∞)上连续，且∫01f(x)dx＜－, 证明：至少存在一个ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0

admin2022-10-08 52

问题设f(x)在[0,+∞)上连续，且∫₀¹f(x)dx＜－

证明：至少存在一个ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0

选项

答案令F(x)=f(x)+x,则 ∫₀¹F(x)dx=∫₀¹f(x)dx+∫₀¹xdx=∫₀¹f(x)dx+[*]＜0 由积分中值定理可得，存在a∈[0,1]使得∫₀¹F(x)dx=F(a)＜0 又因为[*]由极限的保号性，存在b＞a,使得[*],即F(b)＞0 因此由介值定理，至少存在ξ∈(a,b)[*](0,+∞),使得F(ξ)=0即 f(ξ)+ξ=0

解析

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考研数学三

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