设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e一x=0，求f(x)．

admin2016-10-24 43

问题设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^一x=0，求f(x)．

选项

答案因为x∫₀¹f(tx)dt=∫₀^xf(u)du，所以f’(x)+3∫₀^xf(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^一x=0可化为 f(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2∫₀^xf(t)dt+e^一x=0，两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^一x，由λ²+3λ+2=0得λ₁=一1，λ₂=一2，则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0通解为C₁e^一x+C₂e^一2x．令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e^一x的一个特解为y₀=axe^一x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C₁e^一x+C₂e^一2x+xe^一x．由f(0)=1，f’(0)=一1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^一2x+xe^一x．

解析

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考研数学三

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．
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