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设f(x)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)= ∫-22|x-t|f(t)dt,求F(x)在[-2,2]上的最小值点.
设f(x)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)= ∫-22|x-t|f(t)dt,求F(x)在[-2,2]上的最小值点.
admin
2022-06-30
59
问题
设f(x)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)= ∫
-2
2
|x-t|f(t)dt,求F(x)在[-2,2]上的最小值点.
选项
答案
F(x)=∫
-2
2
|x-t|f(t)dt∫
-2
x
(x-t)f(t)dt+∫
x
2
(t-x)f(t)dt =x∫
-2
x
f(t)dt-∫
-2
x
tf()dt-∫
2
x
tf(t)dt+x∫
2
x
f(t)dt, F’(x)=∫
-2
x
f(t)dt+∫
2
x
f(t)dt=∫
-2
0
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt+∫
2
0
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt, 因为∫
-2
0
f(t)dt=∫
0
2
f(t)dt,所以F’(x)=2∫
0
x
f(t)dt. 因为f(x)>0,所以F’(x)=0得x=0, 又因为F"(x)=2f(x),F"(0)=2f(0)>0,所以x=0为F(x)在(-2,2)内唯一的极小值点,也为最小值点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Rhf4777K
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考研数学二
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