设f(x)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)= ∫-22|x-t|f(t)dt,求F(x)在[-2,2]上的最小值点.

admin2022-06-30  25

问题 设f(x)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)= ∫-22|x-t|f(t)dt,求F(x)在[-2,2]上的最小值点.

选项

答案F(x)=∫-22|x-t|f(t)dt∫-2x(x-t)f(t)dt+∫x2(t-x)f(t)dt =x∫-2xf(t)dt-∫-2xtf()dt-∫2xtf(t)dt+x∫2xf(t)dt, F’(x)=∫-2xf(t)dt+∫2xf(t)dt=∫-20f(t)dt+∫0xf(t)dt+∫20f(t)dt+∫0xf(t)dt, 因为∫-20f(t)dt=∫02f(t)dt,所以F’(x)=2∫0xf(t)dt. 因为f(x)>0,所以F’(x)=0得x=0, 又因为F"(x)=2f(x),F"(0)=2f(0)>0,所以x=0为F(x)在(-2,2)内唯一的极小值点,也为最小值点.

解析
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