2. 考研
  3. 设f(x)为[－2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)= ∫－22｜x－t｜f(t)dt，求F(x)在[－2，2]上的最小值点．

设f(x)为[－2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)= ∫－22｜x－t｜f(t)dt，求F(x)在[－2，2]上的最小值点．

admin2022-06-30  48
问题 设f(x)为[－2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)= ∫－22｜x－t｜f(t)dt，求F(x)在[－2，2]上的最小值点．
选项
答案F(x)=∫－22｜x－t｜f(t)dt∫－2x(x－t)f(t)dt+∫x2(t－x)f(t)dt =x∫－2xf(t)dt－∫－2xtf()dt－∫2xtf(t)dt+x∫2xf(t)dt， F’(x)=∫－2xf(t)dt+∫2xf(t)dt=∫－20f(t)dt+∫0xf(t)dt+∫20f(t)dt+∫0xf(t)dt， 因为∫－20f(t)dt=∫02f(t)dt，所以F’(x)=2∫0xf(t)dt． 因为f(x)＞0，所以F’(x)=0得x=0， 又因为F"(x)=2f(x)，F"(0)=2f(0)＞0，所以x=0为F(x)在(－2，2)内唯一的极小值点，也为最小值点．
解析
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考研数学二

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