2. 考研
  3. [2013年] 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且证明： 存在a＞0，使得f(a)=1；

[2013年] 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且证明： 存在a＞0，使得f(a)=1；

admin2019-03-30  31
问题 [2013年]  设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且证明：
存在a＞0，使得f(a)=1；
选项
答案证一 可用零点定理证之，关键是要找到有关函数的正、负值点． 令g(x)=f(x)－1，则g(0)=f(0)－1=－1＜0．又因[*]故存在b＞0使[*]又g(x)在[0，b][*](0，+∞)上连续，由零点定理得到存在a∈(0，b)[*](0，+∞)使g(a)=f(a)－1=0，即f(a)=1(a＞0)． 证二 可用介值定理证之．因[*]所以存在f＞0使得f(c)＞1．因f(x)在[0，c)上可导，所以f(x)在[0，x)上连续，又因f(c)＞1＞0，即得f(0)＜1＜f(c)，由介值定理知，存在a∈(0，c)使得f(a)=1．
解析
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考研数学三

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