首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2006年] 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
[2006年] 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解. (1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
admin
2019-05-10
68
问题
[2006年] 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α
1
=[一1,2,一1]
T
,α
2
=[0,一1,1]
T
都是齐次方程组AX=0的解.
(1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A.
选项
答案
认真分析题设条件,在A未知的情况下也能求出其特征值和特征向量.在此基础上将所求得的特征向量正交化,单位化即得Q. (1)由题设有A[1,1,1]
T
=[3,3,3]
T
=3[1,1,1]
T
,则λ
0
=3为A的特征值,α
0
=[1,1,1]
T
为A的属于λ
0
=3的特征向量(见命题2.5.1.4),于是A的属于特征值3的所有特征向量为k
0
α
0
(λ
0
为非零的任意常数). 又α
1
,α
2
为AX=0的非零解向量,故Aα
1
=0=0·α
1
,因而α
1
为A的属于特征值λ
1
=0的特征向量.同法可知,α
2
也是A的属于特征λ
2
=0的特征向量.因α
1
,α
2
线性无关,故A的属于特征值0的所有特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
不全为零). (2)因0为A的二重特征值.现将属于多重特征值的特征向量α
1
,α
2
正交化(因α
1
,α
2
不正交),使用施密特正交化的方法,得到 β
1
=α
1
, β
2
=α
2
一[*] 则β
1
,β
2
正交.显然α
0
与β
1
,β
2
都正交,因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量. 下面将α
0
,β
1
,β
2
单位化,得到 [*] 令Q=[η
0
,η
1
,η
2
],则Q为正交矩阵,且有 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=diag(3,0,0)=A. ①
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RjV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设A,B均为n阶可逆矩阵,且(A+B)2=E,则(E+BA一1)一1=()
设f(χ)二阶可导,=1且f〞(χ)>0.证明:当χ≠0时,f(χ)>χ.
设A为n阶非奇异矩阵,α是n维列向量,b为常数,P=,Q=.(1)计算PQ;(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设A是m×n阶矩阵,若ATA=O,证明:A=O.
设n阶矩阵A满足A2+A=3E,则(A-3E)-1=_______.
设f(u)可导,y=f(χ2)在χ0=-1处取得增量△χ=0.05时,函数增量△y的线性部分为0.15,则f′(1)=_______.
设抛物线y=aχ2+bχ+c(a<0)满足:(1)过点(0,0)及(1,2);(2)抛物线y=aχ2+bχ+c与抛物线y=-χ2+2χ所围图形的面积最小,求a,b,c的值.
已知二次型f=2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0),通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32.求参数a及所用的正交变换矩阵.
设。计算行列式|A|;
随机试题
国防建设的基本依托是()
患者,男,66岁,因胸骨后疼痛2d,出冷汗,皮肤凉1h来院就诊。测BP10.6/6.6kPa(80/50mmHg)。ECG示V1-6,I、aVL导联的ST段明显抬高,并有深而宽的Q波。血清CK-MB峰高出正常的12倍。对该患者最有效的治疗是
申请人自发明或者实用新型在外国第一次提出专利申请之日起______,或者自外观设计在外国第一次提出专利申请之日起______,又在中国就相同主题提出专利申请的,依照该外国同中国签订的协议或者共同参加的国际条约,或者依照相互承认优先权的原则,可以享有优先权
MnO2+HCl=MnCl2+Cl2+H2O将反应配平后,MnCl2的系数为()。
根据《金融机构协助查询、冻结、扣划工作管理规定》,办理协助冻结业务时,金融机构经办人员应当核实的证件和法律文书不包括()。
设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为__________.
1938年5、6月间,毛泽东发表《论持久战》的讲演,指出抗日战争是持久的,最后的胜利是中国的,全部问题的根据是()
下面是关于计算机病毒的4条叙述,其中正确的一条是______。
Whichofthefollowingcanbeusedasastativeverb(静态动词)?
TheAncientGreekOlympicsToday’sOlympicGamesarebasedonwhattookplaceatOlympia,inGreece,nearlythreemillennia
最新回复
(
0
)