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设f(x)在[a,b]上连续,f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明:对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).
设f(x)在[a,b]上连续,f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明:对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).
admin
2019-09-23
27
问题
设f(x)在[a,b]上连续,f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明:对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).
选项
答案
不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ε
1
∈(0,a),ε
2
∈(b,a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε
2
)-f’(ε
1
)]a.因为f"(x)>0,所以f’(x)单调增加,而ε
1
<ε
2
,所以f’(ε
1
)<f’(ε
2
),故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε
2
)-f’(ε
1
)]a>0,即f(a+b)>f(a)+f(b).
解析
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考研数学二
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