2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明：对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).

设f(x)在[a,b]上连续，f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明：对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).

admin2019-09-23  49
问题 设f(x)在[a,b]上连续，f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明：对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).
选项
答案不妨设a≤b,由微分中值定理，存在ε1∈（0，a),ε2∈（b，a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a.因为f"(x)＞0,所以f’(x)单调增加，而ε1＜ε2，所以f’(ε1)＜f’(ε2),故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a＞0,即f(a+b)＞f（a)+f(b).
解析
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考研数学二

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