设f(x)在[a,b]上连续,f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明:对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).

admin2019-09-23  29

问题 设f(x)在[a,b]上连续,f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明:对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).

选项

答案不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ε1∈(0,a),ε2∈(b,a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a.因为f"(x)>0,所以f’(x)单调增加,而ε1<ε2,所以f’(ε1)<f’(ε2),故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a>0,即f(a+b)>f(a)+f(b).

解析
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