设二阶常系数线性微分方程y"＋ay’＋by＝cex有特解y＝e2x＋(1＋x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

admin2019-11-25 59

问题设二阶常系数线性微分方程y"＋ay’＋by＝ce^x有特解y＝e^2x＋(1＋x)e^x，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

选项

答案将y＝e^{2x＋(1＋x)e^x代入原方程得(4＋2a＋b)e^2x＋(3＋2a＋b)e^x＋(1＋a＋b)xe^x＝ce^x，则有
[*]解得a＝－3，b＝2，c＝－1，
原方程为y”－3y’＋2y＝－e^x．
原方程的特征方程为λ²－3λ＋2＝0，特征值为λ₁＝1，λ₂＝2，则y”－3y’＋2y＝0的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x，于是原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x＋(1＋x)e^x(C₁，C₂为任意常数)．}

解析

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