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设D={(r,θ)|2≤r≤2(1+cosθ),一π/2≤θ≤π/2},f(x,y)在R2上连续,且满足f(x,y)=x+yf(x,y)dxdy,求f(x,y)及I=xf(x,y)dxdy
设D={(r,θ)|2≤r≤2(1+cosθ),一π/2≤θ≤π/2},f(x,y)在R2上连续,且满足f(x,y)=x+yf(x,y)dxdy,求f(x,y)及I=xf(x,y)dxdy
admin
2022-06-09
44
问题
设D={(r,θ)|2≤r≤2(1+cosθ),一π/2≤θ≤π/2},f(x,y)在R
2
上连续,且满足f(x,y)=x+y
f(x,y)dxdy,求f(x,y)及I=
xf(x,y)dxdy
选项
答案
如图所示,由D关于x轴对称,知[*]ydxdy=0 记A=[*]f(x,y)dxdy([*]f(x,y)dxdy是一个常数),则已知等式可化为f(x,y)=x+Ay,故 A=[*]f(x,y)dxdy=[*]dxdy+A[*]ydxdy =∫
-π/2
π/2
dθ∫
2
2(1+cosθ)
rcosθ·rdr+0 =8/3∫
-π/2
π/2
[(1+cosθ)-1]cosθdθ =16/3∫
0
π/2
(3cos
3
θ+3cos
3
θ+cos
4
θ)dθ =16/3(2+15π)=32/3+5π 于是 f(x+y)=x+(32/3+5π)y I=[*]xf(x,y)dxdy=[*][x
2
+(32/3+5π)xy]dxdy 由x
2
+y
2
≤1关于y=x对称,xy关于x是奇函数,可知 I=[*]x
2
dxdy=1/2[*](x
2
+y
2
]dxdy =1/2∫
0
2π
dθ∫
0
1
r
2
·rdr=1/2×2π×1/4=π/4 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Rnf4777K
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考研数学二
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