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若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
admin
2019-01-26
55
问题
若f"(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2,则函数f(x)在区间(1,2)内( )
选项
A、有极值点,无零点。
B、无极值点,有零点。
C、有极值点,有零点。
D、无极值点,无零点。
答案
B
解析
由已知得f(x)为凸函数,因此f"(x)<0。对曲率圆x
2
+y
2
=2关于x求导得2x+2yy’=0,所以f’(1)=-1。曲线在点(1,1)处的曲率为
所以f"(1)=-2。在闭区间[1,2]上,f’(x)≤f’(1)=-1<0,即函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以在区间(1,2)内无极值点。
由拉格朗日中值定理知,在区间(1,2)内至少存在一点ξ,使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<-1,因为f(1)=1>0,所以f(2)<0。由零点定理知,在区间(1,2)内至少有函数f(x)的一个零点。
故本题选B。
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考研数学二
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