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  3. 若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内( )

admin2019-01-26  53
问题 若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内(    )
选项 A、有极值点，无零点。
B、无极值点，有零点。
C、有极值点，有零点。
D、无极值点，无零点。
答案B
解析 由已知得f(x)为凸函数，因此f"(x)＜0。对曲率圆x2+y2=2关于x求导得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲线在点(1，1)处的曲率为所以f"(1)=－2。在闭区间[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以在区间(1，2)内无极值点。
    由拉格朗日中值定理知，在区间(1，2)内至少存在一点ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因为f(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零点定理知，在区间(1，2)内至少有函数f(x)的一个零点。
    故本题选B。
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考研数学二

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