设函数z＝z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足，z(x，0)＝0，z(0，y)＝y2，则z(x，y)＝__________。

admin2019-12-24 78

问题设函数z＝z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足

，z(x，0)＝0，z(0，y)＝y²，则z(x，y)＝__________。

选项

答案z(x，y)＝1／2x²y＋1／2xy²＋y²

解析因为

，对x积分可得

＝1／2x²＋xy＋C(y)，
令x＝0可得

＝C(y)，又因为z(0，y)＝y²，对y求导d［z(0，y)］／dy＝2y，
可得C(y)＝2y，因此

＝1／2x²＋xy＋2y，
再对y积分可得
z(x，y)＝1／2x²y＋1／2xy²＋y²＋C(x)，
令y＝0可得z(x，0)＝0＝C(x)，则
z(x，y)＝1／2x²y＋1／2xy²＋y²。
本题先对x进行积分，得出含y的未知函数的偏导表达式，再对y进行积分，得出含有x的未知函数的表达式，最后结合z(x，0)＝0，z(0，y)＝y²得出结果。

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