已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： aij=一AijATA=E，且｜A｜=一1。

admin2019-04-22 73

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明：
a_ij=一A_ij

A^TA=E，且｜A｜=一1。

选项

答案当a_ij=－A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一｜A｜E，此时n｜A｜=tr(一A^TA)=[*]a_ij²＜0，即｜A｜＜0。在A^TA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若A^TA=E且｜A｜=一1，则A^*A=｜A｜E=一E=一A^TA=(一A^T)A，于是A^T=一A^*，即a_ij=－A_ij。

解析

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考研数学二

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