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设p(x),g(x),f(x)均是关于x的连续函数,y1(x),y2(x),),y3(x)是),y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1与C2是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
设p(x),g(x),f(x)均是关于x的连续函数,y1(x),y2(x),),y3(x)是),y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1与C2是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
admin
2020-12-06
21
问题
设p(x),g(x),f(x)均是关于x的连续函数,y
1
(x),y
2
(x),),y
3
(x)是),y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C
1
与C
2
是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解为( )
选项
A、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
B、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
—C
2
))y
3
C、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
一C
2
)y
3
答案
C
解析
将选项C
1
改写为C
1
(y
1
一y
2
)+C
2
(y
2
一y
3
)+y
3
。作为非齐次方程的解,只需要满足C
1
(y
1
一y
2
)+C
2
(y
2
一y
3
)是对应的齐次方程组的通解,因此只需要证明(y
1
一y
2
)与(y
2
一y
3
)线性无关即可。
假设(y
1
一y
2
)与(y
2
一)y
3
)线性相关,即存在不全为零的数k
1
和k
2
使得
k
1
(y
1
一y
2
)+k
2
(y
2
一y
3
)=0,
即k
1
y
1
+(k
2
一k
1
)y
2
一k
2
y
3
=0。
由于y
1
,y
2
,y
3
线性无关,则根据上式可得k
1
=k
2
=0,与k
1
和k
2
不全为零矛盾,因此(y
1
一y
2
)与(y
2
一y
3
)线性无关,可见选项C是非齐次微分方程的通解。故选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S4v4777K
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