2. 考研
  3. 设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y1(x)，y2(x)，)，y3(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )

设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y1(x)，y2(x)，)，y3(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )

admin2020-12-06  12
问题 设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y1(x)，y2(x)，)，y3(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为(     )
选项 A、(C1+C2)y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3
B、(C1+C2)y1+(C2一C1)y2+(C1—C2))y3
C、C1y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3
D、C1y1+(C2一C1)y2+(C1一C2)y3
答案C
解析 将选项C1改写为C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y3。作为非齐次方程的解，只需要满足C1(y1一y2)+C2(y2一y3)是对应的齐次方程组的通解，因此只需要证明(y1一y2)与(y2一y3)线性无关即可。
假设(y1一y2)与(y2一)y3)线性相关，即存在不全为零的数k1和k2使得
k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0，
即k1y1+(k2一k1)y2一k2y3=0。
由于y1，y2，y3线性无关，则根据上式可得k1=k2=0，与k1和k2不全为零矛盾，因此(y1一y2)与(y2一y3)线性无关，可见选项C是非齐次微分方程的通解。故选C。
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考研数学一

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