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设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y1(x)，y2(x)，)，y3(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y1(x)，y2(x)，)，y3(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
admin
2020-12-06
21
问题
设p(x)，g(x)，f(x)均是关于x的连续函数，y
1
(x)，y
2
(x)，)，y
3
(x)是)，y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C
1
与C
2
是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )
选项
A、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
B、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
—C
2
))y
3
C、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(C
1
一C
2
)y
3
答案
C
解析
将选项C
1
改写为C
1
(y
1
一y
2
)+C
2
(y
2
一y
3
)+y
3
。作为非齐次方程的解，只需要满足C
1
(y
1
一y
2
)+C
2
(y
2
一y
3
)是对应的齐次方程组的通解，因此只需要证明(y
1
一y
2
)与(y
2
一y
3
)线性无关即可。
假设(y
1
一y
2
)与(y
2
一)y
3
)线性相关，即存在不全为零的数k
1
和k
2
使得
k
1
(y
1
一y
2
)+k
2
(y
2
一y
3
)=0，
即k
1
y
1
+(k
2
一k
1
)y
2
一k
2
y
3
=0。
由于y
1
，y
2
，y
3
线性无关，则根据上式可得k
1
=k
2
=0，与k
1
和k
2
不全为零矛盾，因此(y
1
一y
2
)与(y
2
一y
3
)线性无关，可见选项C是非齐次微分方程的通解。故选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S4v4777K
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