2. 考研
  3. A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量是ξ3． (I)问ξ1﹢ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)问ξ2﹢ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A2的特征向

A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量是ξ3． (I)问ξ1﹢ξ2是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅱ)问ξ2﹢ξ3是否是A的特征向量?说明理由； (Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A2的特征向

admin2018-12-21  28
问题 A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3＝－2对应的特征向量是ξ3．
(I)问ξ1﹢ξ2是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅱ)问ξ2﹢ξ3是否是A的特征向量?说明理由；
(Ⅲ)证明任意3维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．
选项
答案(I)ξ1﹢ξ2仍是A的对应于λ1＝λ2＝2的特征向量． 因已知Aξ1＝2ξ1，Aξ2＝2ξ2，故 A(ξ1﹢ξ2)＝Aξ1﹢Aξ2＝2ξ1﹢2ξ2＝2(ξ1﹢ξ2)． (Ⅱ)ξ2﹢ξ3不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有 A(ξ2﹢ξ3)＝μ(ξ2﹢ξ3)， 得 2ξ2－2ξ3－μξ2－μξ3＝(2－μ)ξ2－(2﹢μ)ξ3＝0， 因2－μ和2﹢μ不同时为零，故ξ2，ξ3线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾， 故ξ2﹢ξ3不是A的特征向量． (Ⅲ)因A有特征值λ1＝λ2＝2，λ3＝－2，故A2有特征值μ1＝μ2＝μ3＝4．对应的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，使得 P－1A2P＝4E，A2＝P(4E)P－1＝4E， 从而对任意的β≠0，有A2β＝4EB＝4β，故知任意3维非零向量β都是A2的对应于特征值μ＝4的特征向量．
解析
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考研数学二

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