2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值___________，且其重数至少是___________．

设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值___________，且其重数至少是___________．

admin2018-06-14  85
问题 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值___________，且其重数至少是___________．
选项
答案λ=0，λ=0
解析 r(A)＜n→｜A｜=0  →λ=0必是A的特征值．
    由r(A)＜n→Ax=0有非0解．设η1，η2，…，ηn—r(A)是Ax=0的基础解系，则Aηj=0=0ηj，即
ηj(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量．
    因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n—r(A)重特征值．
注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．
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考研数学三

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