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已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是( )
已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是( )
admin
2021-04-07
46
问题
已知β
1
,β
2
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α
1
,α
2
是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k
1
,k
2
为任意常数,则方程组Ax=b的通解是( )
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+(β
1
-β
2
)/2
B、k
1
α
1
+k
2
(β
1
+β
2
)+(β
2
-β
2
)/2
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)+(β
1
+2β
2
)/3
D、k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)+(β
1
+2β
2
)/3
答案
D
解析
因为β
1
-β
2
是对应齐次线性方程组Ax=0的解,所以根据非齐次线性方程组的通解结构定理,显然应排除选项A和B。
又β
1
-β
2
与α
1
可能线性相关,例如,β
1
=β
2
+α
1
与β
2
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,但β
1
-β
2
=α
1
,所以仍由非齐次线性方程组的通解结构定理,应排除选项C,故选D。
必须指出,我们也可直接分析选项D,由于α
1
,α
2
是Ax=0的基础解系,易知α
1
,α
1
-α
2
线性无关,因而也是Ax=0的基础解系,又因为
(β
1
+2β
2
)为Ax=-b的解,所以D为正确选项。
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考研数学二
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