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已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是( )
已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是( )
admin
2021-04-07
28
问题
已知β
1
，β
2
是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α
1
，α
2
是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，k
1
，k
2
为任意常数，则方程组Ax＝b的通解是( )
选项
A、k
1
α
1
＋k
2
(α
1
＋α
2
)＋(β
1
－β
2
)／2
B、k
1
α
1
＋k
2
(β
1
＋β
2
)＋(β
2
－β
2
)／2
C、k
1
α
1
＋k
2
(β
1
－β
2
)＋(β
1
＋2β
2
)／3
D、k
1
α
1
＋k
2
(α
1
－α
2
)＋(β
1
＋2β
2
)／3
答案
D
解析
因为β
1
－β
2
是对应齐次线性方程组Ax＝0的解，所以根据非齐次线性方程组的通解结构定理，显然应排除选项A和B。
又β
1
－β
2
与α
1
可能线性相关，例如，β
1
＝β
2
＋α
1
与β
2
是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，但β
1
－β
2
＝α
1
，所以仍由非齐次线性方程组的通解结构定理，应排除选项C，故选D。
必须指出，我们也可直接分析选项D，由于α
1
，α
2
是Ax＝0的基础解系，易知α
1
，α
1
－α
2
线性无关，因而也是Ax＝0的基础解系，又因为
(β
1
＋2β
2
)为Ax＝－b的解，所以D为正确选项。
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