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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内连续严格单调增，f(0)=0，常数n为正奇数，并设则正确的是 ( )

设f(x)在(一∞，+∞)内连续严格单调增，f(0)=0，常数n为正奇数，并设则正确的是 ( )

admin2020-08-03  35
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内连续严格单调增，f(0)=0，常数n为正奇数，并设则正确的是    (  )
选项 A、F(x)在(一∞，0)内严格单调增，在(0，+∞)内也严格单调增．
B、F(x)在(一∞，0)内严格单调增，在(0，+∞)内严格单调减．
C、F(x)在(一∞，0)内严格单调减，在(0，+∞)内严格单调增．
D、F(x)在(一∞，0)内严格单调减，在(0，+∞)内也严格单调减．
答案C
解析
方法一  利用积分中值定理，
其中，若x＞0，则0＜ξ＜x；若x＜0，则x＜ξ＜0．
当x＞0，则有0＜ξn＜xn，由于f(x)严格单调增且f(0)=0，从而0＜(ξ)＜f(x)及0＜ξnf(ξ)＜xnf(x)．
于是F’(x)＞0  (当x＞0)．当x＜0，则有xn＜ξn＜0，并且f(x)＜f(ξ)＜0．
于是仍有xnf(x)＞ξnf(ξ)＞0．所以F’(x)＜0，当x＜0．结论选C．
方法二当x＞0时，0＜t＜x，0＜f(t)＜f(x)，0＜tnf(t)＜xnf(x)，
从而F’(x)＞0．当x＜0时，x＜t＜0，x＜xn＜0，f(x)＜f(t)＜0，于是tnf(t)＜xnf(x),从而F’(x)＜0．故选C．
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考研数学一

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