设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

admin2022-04-10 107

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．
(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；
(Ⅱ)设

，求出可由两组向量同时表示的向量．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂使得k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0，或k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁—l₂β₂．令γ=k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁因为α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关，所以k，k₂及l₁，l₂都不全为零，所以γ≠0． (Ⅱ)令k₁α₂+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0，[*]则[*]，所以γ=kα₁—3kα₂=一kβ₁+0β₂．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

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