设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

admin2022-04-10 124

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．
(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；
(Ⅱ)设

，求出可由两组向量同时表示的向量．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂使得k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0，或k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁—l₂β₂．令γ=k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁因为α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关，所以k，k₂及l₁，l₂都不全为零，所以γ≠0． (Ⅱ)令k₁α₂+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0，[*]则[*]，所以γ=kα₁—3kα₂=一kβ₁+0β₂．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

考研数学三

设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T．(1)求(I)的一个基础解系；(2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=[2，－1，a+2，1]T，α2=[－1，2，4，a+8]T．当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出

设当x≥0时f(x)有一阶连续导数，且满足求f(x)．

向量组β1，β2，…，βt可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，设表出关系为[β1，β2，…，βt]=[α1，α2，…，αs][α1，α2，…，αs]C若α1，α2，…，αs线性无关．证明：r(β1，β2，…，βt)=r(C)．

设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0

已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明X，AX线性无关；(2)若A2X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并讨论A可否对角化．

曲线的切线与X轴和Y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a．试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

设二次型的正、负惯性指数都是1．当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

设a1=4，an+1=an存在，并求此极限．

求下列极限：

一份执行政府定价的买卖合同,买方逾期提货,则()。

下列项目中免征土地增值税的是(　　　)。

对管理者的培训通常包括()。

资本周转的时间包括()。

公众充权：指在公共政策的制定、执行、评估、监督过程中，公众积极参与，充分表达自己的利益主张，以推动公共政策过程的民主化与科学化。下列属于公众充权的是

(1)求函数项级数e－x+2e－2x+…+ne－nx+…收敛时x的取值范围；(2)当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．

Thestoryofthe【S1】Titaniccontinuesto【S2】peopletodaypartlybecauseofthe1998Hollywoodmovies,Titanic.Peopl

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

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设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T．(1)求(I)的一个基础解系；(2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=[2，－1，a+2，1]T，α2=[－1，2，4，a+8]T．当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出

设当x≥0时f(x)有一阶连续导数，且满足求f(x)．

向量组β1，β2，…，βt可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，设表出关系为[β1，β2，…，βt]=[α1，α2，…，αs][α1，α2，…，αs]C若α1，α2，…，αs线性无关．证明：r(β1，β2，…，βt)=r(C)．

设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0

已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明X，AX线性无关；(2)若A2X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并讨论A可否对角化．

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设二次型的正、负惯性指数都是1．当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

设a1=4，an+1=an存在，并求此极限．

求下列极限：

一份执行政府定价的买卖合同,买方逾期提货,则()。

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(1)求函数项级数e－x+2e－2x+…+ne－nx+…收敛时x的取值范围；(2)当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．

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下列项目中免征土地增值税的是(　　　)。

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