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设α1,α2,β1,β2为三维列向量组,且α1,α2与β1,β2都线性无关. (Ⅰ)证明:至少存在一个非零向量可同时由α1,α2和β1,β2线性表示; (Ⅱ)设,求出可由两组向量同时表示的向量.
设α1,α2,β1,β2为三维列向量组,且α1,α2与β1,β2都线性无关. (Ⅰ)证明:至少存在一个非零向量可同时由α1,α2和β1,β2线性表示; (Ⅱ)设,求出可由两组向量同时表示的向量.
admin
2022-04-10
85
问题
设α
1
,α
2
,β
1
,β
2
为三维列向量组,且α
1
,α
2
与β
1
,β
2
都线性无关.
(Ⅰ)证明:至少存在一个非零向量可同时由α
1
,α
2
和β
1
,β
2
线性表示;
(Ⅱ)设
,求出可由两组向量同时表示的向量.
选项
答案
(Ⅰ)因为α
1
,α
2
,β
1
,β
2
线性相关,所以存在不全为零的常数k
1
,k
2
,l
1
,l
2
使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0,或k
1
α
1
+k
2
α
2
=一l
1
β
1
—l
2
β
2
. 令γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=一l
1
β
1
因为α
1
,α
2
与β
1
,β
2
都线性无关,所以k
,k
2
及l
1
,l
2
都不全为零,所以γ≠0. (Ⅱ)令k
1
α
2
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0,[*]则[*],所以γ=kα
1
—3kα
2
=一kβ
1
+0β
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SQR4777K
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考研数学三
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