设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)． (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)； (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．

admin2019-08-11 54

问题设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)．
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
(Ⅱ)计算D(X²一2Y²)．

选项

答案(Ⅰ)由X+Y与X+Y独立，有X+Y与X+aY不相关．又对二维正态分布ρ_XY=0←→X与Y独立．故Cov(X+Y，X+aY)=Cov(X，X)+Coy(X，aY)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y) =DX+aDY=1+a．4=0 则 a=一[*]． (X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立． [*] (Ⅱ)由X与Y独立，有X²与Y²独立，则D(X²一2Y²)=D(X²)+4D(Y²)． [*]

解析

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考研数学三

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