首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATX=ATb一定有解．
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATX=ATb一定有解．
admin
2015-08-17
31
问题
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A
T
A)=r(A)；(2)A
T
X=A
T
b一定有解．
选项
答案
(1)设r(A)=r，r(A
T
A)=r
2
，由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0，故Ax=0的基础解系(含n一r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n一r
2
个无关解)之中，所以n一r
1
≤n一r
2
，故有r
2
≤r
1
，即r(A
T
A)≤r(A)． ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量)，必有X
T
A
T
AX=0，即(AX)
T
AX=0，设AX=[b
1
，b
2
，…，b
m
]
T
，则[*]，必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0，即AX=0，故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A
T
A)≤n一r(A)， r(A)≤r(A
T
A)． ② 由①，②得证r(A)=r(A
T
A)． (2)A
T
AX=A
T
b有解[*]r(A
T
A)=r(A
T
A｜A
T
b)．由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A)，将A
T
，A
T
A=B以列分块，且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出，故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组，A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合，从而r(A
T
)=r(A
T
｜A
T
b)=r(A
T
A｜A
T
b)，故r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
｜A
T
b)=r(A
T
A｜A
T
b)，故(A
T
A)X=A
T
b有解．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SQw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设A，B，C为常数，B2一AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2为常数)，将方程=0．
f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．
[*]
证明：
已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。
求矩阵A=的特征值与特征向量．
设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关；(2)求｜A｜．
设α1，…，αm，β为m+1维向量，β=α1+…+αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β-α1，…，β-αm线性无关．
随机试题
并联电阻的等效电阻值小于并联中任一电阻的阻值。()
A．11～12小时B．6～8小时C．1小时D．1～2小时E．5～15分钟初产妇与经产妇的第三产程需
人与外界环境的统一性表现为
李先生3年后需要5万元来支付其儿子的大学学费，若年投资收益率为9％，那么现在李先生需要拿出()元进行投资。
SKU的含义是（）。
人们往往把35～50周岁的教师群体称为中年教师，他们一般从事教育工作超过十年，积累了一定的教育教学经验，其中一部分已成为学校的中坚力量。据了解，目前，某市区40岁以上的中年教师有13400人，占到整个教师的1／3以上，随着新课改的开展，部分中年教师在日常
在司法实践中，有时会出现交叉管辖的现象。如果公安机关侦查刑事案件涉及到人民检察院管辖的贪污案件时，依照有关规定应当如何处理？（）
李东阳是某家用电器企业的战略规划人员，正在参与制定本年度的生产与营销计划。为此，他需要对上一年度不同产品的销售情况进行汇总和分析，从中提炼出有价值的信息。根据下列要求，帮助李东阳运用已有的原始数据完成上述分析工作。在工作表“Sheet1”中，从B3单元
Revengeisoneofthosethingsthateveryoneenjoys.Peopledon’tliketotalkaboutit,though.Justthesame,thereisnothing
TypeDpersonality,firstdefinedinthe’90s,ischaracterizedbyfeelingsofnegativity,depression,anxiety,stress,anger,a
最新回复
(
0
)
