首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATX=ATb一定有解.
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATX=ATb一定有解.
admin
2015-08-17
27
问题
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(A
T
A)=r(A);(2)A
T
X=A
T
b一定有解.
选项
答案
(1)设r(A)=r,r(A
T
A)=r
2
,由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0,故Ax=0的基础解系(含n一r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n一r
2
个无关解)之中,所以n一r
1
≤n一r
2
,故有r
2
≤r
1
,即r(A
T
A)≤r(A). ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量),必有X
T
A
T
AX=0,即(AX)
T
AX=0,设AX=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
,则[*],必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0,即AX=0,故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0,从而有 n一r(A
T
A)≤n一r(A), r(A)≤r(A
T
A). ② 由①,②得证r(A)=r(A
T
A). (2)A
T
AX=A
T
b有解[*]r(A
T
A)=r(A
T
A|A
T
b).由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A),将A
T
,A
T
A=B以列分块,且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出,故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组,A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合,从而r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故(A
T
A)X=A
T
b有解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SQw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
f(χ)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f″′(ξ)=3.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAχ在正交变换χ=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第3列为.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
设A为n阶矩阵,且A2-2A-8E=O.证明:r(4E-A)+r(2E+A)=n.
设y(x)是方程y(4)一y"=0的解,且当x→0时,y(x)是x的三阶无穷小,求y(x).
设A为n阶实对称可逆矩阵f(χ1,χ2,…,χN)=.(1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把二次型f(χ1,χ2,…,χn)写成矩阵形式;(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(χ1,χ2,…,χn)合同?
设α1,α2,…,αt为AX=0的一个基础解系,β不是AX=0的解,证明:β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
求A=的特征值和特征向量.
已知齐次线性方程组有非零解,且是正定矩阵.求a;
设α1,…,αm,β为m+1维向量,β=α1+…+αm(m>1).证明:若α1,…,αm线性无关,则β-α1,…,β-αm线性无关.
随机试题
确定方剂剂型的主要依据是
甲公司获得了某医用镊子的实用新型专利,不久后乙公司自行研制出相同的镊子,并通过丙公司销售给丁医院使用。乙、丙、丁都不知道甲已经获得该专利。下列哪一选项是正确的?()
建设项目敏感性分析中,敏感因素的确定可以通过计算()来判断。
材料:在艺术创作中,往往有一个重复和变化的问题:只有重复而无变化,作品就必然单调枯燥;只有变化而无重复,就容易陷于散漫零乱。重复与变化的统一,在建筑物形象的艺术效果上起着极其重要的作用。古今中外的无数建筑,除去极少数例外,几乎都以重复运
如图,正方形的边长1cm,E、F、G、日分别为各边中点,那么中间小正方形的面积是()。
教育学是随着人类社会的产生而产生的。
台风中心从A地以每小时20公里的速度向东北方向移动。离台风中心30公里内的地区为危险区,城市B在A的正东40公里处。B城处于危险区内的时间为()。
人们每天所吃的食物,按酸碱性可分为两大类。含有磷、氯、硫元素较多的食物,如大米、面粉、鱼、肉、蛋、糖、花生、啤酒等属成酸性食物;含钾、钠、钙、镁元素较多的食物,如蔬菜、水果、豆类、茶等属成碱性食物。成酸、成碱性食物应当搭配食用,偏食成酸性食物可以引起酸中毒
Thereisprobablynolimittowhatsciencecandointhewayofincreasingpositiveexcellence.【T1】Healthhasalreadybeengrea
Faces,likefingerprints,areunique.Didyou【C1】______wonderhowitispossibleforusto【C2】______people?Evenaskilledwrite
最新回复
(
0
)