已知A=,a是一个实数. (1)求作可逆矩阵u,使得U-1AU是对角矩阵. (2)计算|A-E|.

admin2019-04-22  27

问题 已知A=,a是一个实数.
    (1)求作可逆矩阵u,使得U-1AU是对角矩阵.
    (2)计算|A-E|.

选项

答案(1)先求A的特征值. |λE-A|=[*]=(λ-a-1)2(λ-a+2) A的特征值为a+1(二重)和a-2(一重). 求属于a+1的两个线性无关的特征向量,即求[A-(a+1)E]X=0的基础解系: A-(a+1)E=[*] 得[A-(a+1)E]X=0的同解方程组 χ1=χ2+χ3, 得基础解系η1=(1,1,0)T,η2=(1,0,1)T. 求属于a-2的一个特征向量,即求[A-(a-2)E]X=0的一个非零解: A-(a-2)E=[*] 得[A-(a-2)E]X=0的同解方程组[*] 得解η3=(-1,1,1)T. 令U=(η1,η2,η3),贝0 U-1AU=[*] (2)A-E的特征值为a(二重)和a-3,于是|A-E|=a2(a-3).

解析
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