已知A＝，a是一个实数． (1)求作可逆矩阵u，使得U-1AU是对角矩阵． (2)计算｜A－E｜．

admin2019-04-22 39

问题已知A＝

，a是一个实数．
(1)求作可逆矩阵u，使得U^-1AU是对角矩阵．
(2)计算｜A－E｜．

选项

答案(1)先求A的特征值．｜λE－A｜＝[*]＝(λ－a－1)²(λ－a＋2) A的特征值为a＋1(二重)和a－2(一重)．求属于a＋1的两个线性无关的特征向量，即求[A－(a＋1)E]X＝0的基础解系： A－(a＋1)E＝[*] 得[A－(a＋1)E]X＝0的同解方程组 χ₁＝χ₂＋χ₃，得基础解系η₁＝(1，1，0)^T，η₂＝(1，0，1)^T．求属于a－2的一个特征向量，即求[A－(a－2)E]X＝0的一个非零解： A－(a－2)E＝[*] 得[A－(a－2)E]X＝0的同解方程组[*] 得解η₃＝(－1，1，1)^T．令U＝(η₁，η₂，η₃)，贝0 U^-1AU＝[*] (2)A－E的特征值为a(二重)和a－3，于是｜A－E｜＝a²(a－3)．

解析

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考研数学二

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已知A＝，a是一个实数． (1)求作可逆矩阵u，使得U-1AU是对角矩阵． (2)计算｜A－E｜．

考研数学二

设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______．

微分方程xy’=+y的通解为_______．

设一阶非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=____________．

计算(χ＋y)dχdy＝_______，其中D由不等式χ2＋y2≤χ＋y所确定．

设f(χ)在[0，＋∞)内可导且f(0)＝1，f′(χ)＜f(χ)(χ＞0)．证明：f(χ)＜eχ(χ＞0)．

设f(χ)二阶可导，f(0)＝0，且f〞(χ)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数．(1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，

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