2. 考研
  3. [2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=[1，－1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=[1，－1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2021-01-25  36
问题 [2007年]  设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=[1，－1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案令f(x)=x5－4x3+1，则B=f(A)=A5－4A3+E．因A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=－2，故B=f(A)的三个特征值分别为μ1=f(λ1)=f(1)=－2，μ2=f(λ2)=f(2)=1，μ3=f(λ3)=f(－2)=1．由Aα1=λ1α1=α1，得到 A5α1=A4Aα1=A4α1=…=Aα1=α1， A3α1=A2Aα1=A2α1=AAα1=Aα1=α1， 故 Bα1=(A5－4A3+E)α1=A5α1－4A3α1+α1=α1－4α1+α1=－2α1， 即B的属于特征值μ1=f(λ1)=f(1)=－2的一个特征向量为α1(与A的属于特征值λ1=1的特征向量α1相同)，所以B的属于特征值μ1=一2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不等于0的任意常数． 一般地，矩阵A的属于特征值λi的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λi)的特征向量相同，故为了求B的特征向量，只需求出A的特征向量． 设A的属于λ2的特征向量为α2=[x1，x2，x3]T，则因λ1≠λ2，故α2与α1正交，则有 [*] 由[*]即得A的属于λ2=1的特征向量α2=[1，1，0]T，α3=[－1，0，1 3T， 故B的属于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α2=[－1，1，0]T，α3=[－1，0，1]T，所以B的属于特征值μ2=1的全部特征向量为k2α2+k3α3，其中k2，k3是不全为0的任意常数．
解析
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考研数学三

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