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[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=[1,-1,1]T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=[1,-1,1]T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
admin
2021-01-25
59
问题
[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,α
1
=[1,-1,1]
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵.
验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
选项
答案
令f(x)=x
5
-4x
3
+1,则B=f(A)=A
5
-4A
3
+E.因A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,故B=f(A)的三个特征值分别为μ
1
=f(λ
1
)=f(1)=-2,μ
2
=f(λ
2
)=f(2)=1,μ
3
=f(λ
3
)=f(-2)=1.由Aα
1
=λ
1
α
1
=α
1
,得到 A
5
α
1
=A
4
Aα
1
=A
4
α
1
=…=Aα
1
=α
1
, A
3
α
1
=A
2
Aα
1
=A
2
α
1
=AAα
1
=Aα
1
=α
1
, 故 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
-4A
3
α
1
+α
1
=α
1
-4α
1
+α
1
=-2α
1
, 即B的属于特征值μ
1
=f(λ
1
)=f(1)=-2的一个特征向量为α
1
(与A的属于特征值λ
1
=1的特征向量α
1
相同),所以B的属于特征值μ
1
=一2的全部特征向量为k
1
α
1
,其中k
1
是不等于0的任意常数. 一般地,矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λ
i
)的特征向量相同,故为了求B的特征向量,只需求出A的特征向量. 设A的属于λ
2
的特征向量为α
2
=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则因λ
1
≠λ
2
,故α
2
与α
1
正交,则有 [*] 由[*]即得A的属于λ
2
=1的特征向量α
2
=[1,1,0]
T
,α
3
=[-1,0,1 3
T
, 故B的属于特征值μ
2
=f(λ
2
)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α
2
=[-1,1,0]
T
,α
3
=[-1,0,1]
T
,所以B的属于特征值μ
2
=1的全部特征向量为k
2
α
2
+k
3
α
3
,其中k
2
,k
3
是不全为0的任意常数.
解析
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考研数学三
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