设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-12-23 12

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．
①求二次型χ^TAχ的规范形．
②证明B＝E＋A＋A²＋A³＋A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案①由于A²＝E，A的特征值λ应满足λ²＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，从而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n－k，χ^TAχ的规范形为 y₁²＋y₂²＋…＋y_k²－y_k+1²－…－y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值为5(k重)和1(n－k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

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设矩阵A=，行列式｜A｜=－1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

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已知A是3阶实对称矩阵．满足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．

设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：DX≤

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?

2006年全国A股成交金额比2005年增长(　　)2001～2006年，我国上市公司数目增加最多的年份是(　　)

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A、润肠通便B、活血C、温脾止泻摄唾D、安胎E、补肺气，定喘嗽杜仲除补肝肾，强筋骨外，又能()。

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某A股的股权登记日收盘价为30元/股，送配股方案每10股配5股，配股价为10元/股，则该股除权价为(　　)元/股。

唐朝是丝绸生产的()时期，无论产量、质量和种类都达到了前所未有的水平。丝绸的生产组织分为宫廷手工业、农村副业和独立工业三种，()较前代大大扩张了。填入括号内的最恰当一项是()。

生产观念

Whatdotheythinkadoctorshouldbe?

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生产观念

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