设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-12-23 20

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．
①求二次型χ^TAχ的规范形．
②证明B＝E＋A＋A²＋A³＋A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案①由于A²＝E，A的特征值λ应满足λ²＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，从而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n－k，χ^TAχ的规范形为 y₁²＋y₂²＋…＋y_k²－y_k+1²－…－y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值为5(k重)和1(n－k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

考研数学一

设｛μn｝，｛cn｝为正项数列，证明：若对一切正整数n满足cn一cn＋1≥a(a＞0)，且也收敛·

设{Xn}是一随机变量序列，Xn(n=1，2，…)的概率密度为试证：

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=O试证明：矩阵E-A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

设矩阵A=，行列式｜A｜=－1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．求旋转曲面的方程；

已知A是3阶实对称矩阵．满足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

设φ(x)=∫0xf(t)g(x－t)dt，其中，f(x)=x，求φ(x)．

设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：DX≤

设an=．证明：对任意常数λ＞0，收敛．

设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

A．淋巴结结构破坏，大量单一肿瘤性细胞增生B．淋巴结结构破坏，多种炎细胞及R-S细胞增生C．淋巴结内瘤细胞排列成滤泡结构D．淋巴结结构破坏，大量原始粒细胞浸润滤泡性非霍奇金淋巴瘤

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已知数列{an}的前n项和Sn=n2+kn(k∈N*)，且Sn的最大值为8。(1)确定常数k，求an；(2)求数列{}的前n项和Tn。

(1)用热水洗去木屑(2)将纸从印版上揭起并阴干(3)把纸覆盖在版面上，用刷子轻轻刷纸(4)用刷子蘸墨汁均匀刷于版面上(5)将有字的一面贴在木板上，由刻字工逐字雕刻(6)将书稿写于纸上

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