设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-12-23 22

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．
①求二次型χ^TAχ的规范形．
②证明B＝E＋A＋A²＋A³＋A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案①由于A²＝E，A的特征值λ应满足λ²＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，从而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n－k，χ^TAχ的规范形为 y₁²＋y₂²＋…＋y_k²－y_k+1²－…－y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值为5(k重)和1(n－k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

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