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设α1,α2,α3,α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,试问实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也为Ax=0的一个基础解系。
设α1,α2,α3,α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+tα4,β4=α4+tα1,试问实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也为Ax=0的一个基础解系。
admin
2021-01-19
75
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+tα
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,试问实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案
由题设知,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
均为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性组合,齐次方程组当有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以β
1
,β
2
,β
3
,β
3
均为Ax=0的解。下面证明β
1
,β
2
,β
3
,β
3
线性无关。设 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
+k
4
β
4
=0, (*) 把β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+tα
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,代入整理得, (k
1
+tk
4
)α
1
+(k
2
+tk
1
)α
2
+(k
3
+tk
2
)α
3
+(k
4
+tk
3
)α
4
=0, 由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为线性方程组Ax=0的一个基础解系,知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,由线性无关的定义,知(*)中其系数全为零,即[*]其系数行列式 [*]=1一t
4
。 由齐次线性方程组只有零解得充要条件,可见,当1一t
4
≠0,即当t≠±1日寸,上述方程组只有零解k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,从而向量组β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关。故当t≠±1时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是方程组Ax=0的基础解系。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SV84777K
0
考研数学二
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