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设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。
设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。
admin
2021-01-19
119
问题
设α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+tα
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，试问实数t满足什么关系时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案
由题设知，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
均为α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以β
1
，β
2
，β
3
，β
3
均为Ax=0的解。下面证明β
1
，β
2
，β
3
，β
3
线性无关。设 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
+k
4
β
4
=0， (*) 把β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+tα
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，代入整理得， (k
1
+tk
4
)α
1
+(k
2
+tk
1
)α
2
+(k
3
+tk
2
)α
3
+(k
4
+tk
3
)α
4
=0， 由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，知α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，由线性无关的定义，知(*)中其系数全为零，即[*]其系数行列式 [*]=1一t
4
。 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当1一t
4
≠0，即当t≠±1日寸，上述方程组只有零解k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0，从而向量组β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关。故当t≠±1时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是方程组Ax=0的基础解系。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SV84777K
0
考研数学二
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