设A是实对称矩阵，λ1与λ2是不同的特征值，p1与p2分别是属于λ1与λ2的特征向量，证明：p1与p2正交．

admin2020-06-05 53

问题设A是实对称矩阵，λ₁与λ₂是不同的特征值，p₁与p₂分别是属于λ₁与λ₂的特征向量，证明：p₁与p₂正交．

选项

答案根据已知条件，有Ap₁＝λ₁p₁，Ap₂＝λ₂p₂，且λ₁≠λ₂．又因为A是实对称矩阵，即A^T＝A，故 λ₁p₁^T＝(λ₁p₁)^T＝(Ap₁)^T＝p₁^TA^T 于是 λ₁p₁^Tp₂＝p₁^TAp₂＝p₁^T(λ₂p₂)＝λ₂p₁^Tp₂ 即(λ₁－λ₂)p₁^Tp₂＝0．又λ₁≠λ₂，故p₁^Tp₂＝0，即p₁与p₂₁正交．

解析

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