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设A是实对称矩阵,λ1与λ2是不同的特征值,p1与p2分别是属于λ1与λ2的特征向量,证明:p1与p2正交.
设A是实对称矩阵,λ1与λ2是不同的特征值,p1与p2分别是属于λ1与λ2的特征向量,证明:p1与p2正交.
admin
2020-06-05
54
问题
设A是实对称矩阵,λ
1
与λ
2
是不同的特征值,p
1
与p
2
分别是属于λ
1
与λ
2
的特征向量,证明:p
1
与p
2
正交.
选项
答案
根据已知条件,有Ap
1
=λ
1
p
1
,Ap
2
=λ
2
p
2
,且λ
1
≠λ
2
.又因为A是实对称矩阵,即A
T
=A,故 λ
1
p
1
T
=(λ
1
p
1
)
T
=(Ap
1
)
T
=p
1
T
A
T
于是 λ
1
p
1
T
p
2
=p
1
T
Ap
2
=p
1
T
(λ
2
p
2
)=λ
2
p
1
T
p
2
即(λ
1
-λ
2
)p
1
T
p
2
=0.又λ
1
≠λ
2
,故p
1
T
p
2
=0,即p
1
与p
21
正交.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SVv4777K
0
考研数学一
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