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  3. 在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。

在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。

admin2018-12-27  42
问题 在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。
选项
答案方法一：由点到直线的距离公式，椭圆x2+4y2=4上的点P(x，y)到直线2x+3y－6=0的距离为 [*] 由于d的表达式中含有绝对值，而[*]所以本题转化为求函数(2x+3y－6)2在条件x2+4y2=4下的最小值点。 构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=(2x+3y－6)2+λ(x2+4y2－4)，则 [*] 解得 [*] 于是 [*] 根据本题实际意义知，最短距离存在，即点[*]为所求的点。 方法二：作椭圆x2+4y2=4的切线l，使其与直线2x+3y－6=0平行，这样的切线有两条，对应的两个切点，其中一个距直线2x+3y－6=0最远，另一个距直线2x+3y－6=0最近。 直线2x+3y－6=0的斜率为[*]而椭圆x2+4y2=4在点P(x，y)处切线斜率：[*]于是[*]即得8y=3x。 将8y=3x与x2+4y2=4联立解得 [*] 由距离公式[*]知，点[*]即为所求的点。
解析
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考研数学一

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