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设αi＝(ai1，ai2…，ain)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β＝(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．
设αi＝(ai1，ai2…，ain)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β＝(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．
admin
2019-03-21
53
问题
设α
i
＝(a
i1
，a
i2
…，a
in
)
T
(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．已知β＝(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量，试判断向量组α
1
，…，α
r
，β的线性相关性．
选项
答案
线性无关．证明如下：由题设条件有b
1
a
i1
＋b
2
a
i2
＋…＋b
n
a
in
＝β
T
α
i
＝0(i＝1，2，…，r)．设k
1
α
1
＋…＋k
r
α
r
＋k
k+1
β＝0，用β
T
左乘用β
T
α左乘两端并利用β
T
α
i
＝0及β
T
β＝‖β
2
‖＞0，得k
r+1
＝0，[*]k
1
α
1
＋…＋k
r
α
r
＝0，又α
1
，…，α
r
线性无关，[*]k
1
＝…＝k
r
＝0．故α
1
，…，α
r
，β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ShV4777K
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考研数学二
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