设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=xixj． (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式； (2)二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?

admin2021-11-15 25

问题设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_ix_j．
(1)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把二次型f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式；
(2)二次型g(x)=X^TAX是否与f(x₁，x₂，…，x_n)合同?

选项

答案(1)f(X)=(x₁，x₂，…，x_n)^T[*] 因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是(1/|A|)A^*=A^-1，显然A^*，A^-1都是实对称矩阵. (2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A^-1合同，故二次型f(x₁，x₂，…，x_n)与g(X)=X^TAX规范合同．

解析

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