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设二次型f(x1,x2,x3)﹦x12﹢x22﹢x32-2x1x2-2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q; (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
设二次型f(x1,x2,x3)﹦x12﹢x22﹢x32-2x1x2-2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q; (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
admin
2022-10-13
39
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)﹦x
1
2
﹢x
2
2
﹢x
3
2
-2x
1
x
2
-2x
1
x
3
﹢2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
﹢by
3
2
。
(I)求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
(Ⅱ)求f在x
T
x﹦3下的最大值。
选项
答案
(I)由题意得,二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知,矩阵A的特征值为2,2,b。矩阵A的迹tr(A)﹦3﹦2﹢2﹢6,所以b﹦-1。 由于2是矩阵A的二重特征值,而实对称矩阵A必可相似对角化,所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A-2E的秩为1,而 [*] 所以a﹦-1。 由(A-λE)x﹦0得,特征值为λ
1
﹦λ
2
﹦2,λ
3
﹦-1,对应的特征向量分别为 α
1
﹦(1,0,-1)
T
,α
2
﹦(0,1,-1)
T
,α
3
﹦(1,1,1)
T
, 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以只需将α
1
,α
2
正交化得 [*] 再将β
1
,β
2
,α
3
单位化得 [*] 则正交变换矩阵为[*] (Ⅱ)二次型f﹦x
T
Ax在正交变换X﹦Qy,下的标准形为f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
-y
3
2
。条件x
T
x﹦3等价于y
T
Q
2
Qy﹦y
1
2
﹢y
2
2
﹢y
3
2
﹦3;此时f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
-y
3
2
﹦6-3y
3
2
的最大值为6,所以f在x
T
x﹦3的条件下的最大值为6。 本题考查二次型的正交变换。考生可由题干给出的标准形得出二次型矩阵的特征值,进而由二次型矩阵及其对应的标准形矩阵的性质得到常数a,b的值。考生可由矩阵的特征方程解得矩阵的特征向量,对特征向量正交化、单位化,即可求出所用的正交变换矩阵。
解析
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考研数学一
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