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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q； (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。

设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q； (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。

admin2022-10-13  40
问题 设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。
(I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
(Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
选项
答案(I)由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)﹦3﹦2﹢2﹢6，所以b﹦－1。 由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而 [*] 所以a﹦－1。 由(A－λE)x﹦0得，特征值为λ1﹦λ2﹦2，λ3﹦－1，对应的特征向量分别为 α1﹦(1，0，－1)T，α2﹦(0，1，－1)T，α3﹦(1，1，1)T， 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以只需将α1，α2正交化得 [*] 再将β1，β2，α3单位化得 [*] 则正交变换矩阵为[*] (Ⅱ)二次型f﹦xTAx在正交变换X﹦Qy，下的标准形为f﹦2y12﹢2y22－y32。条件xTx﹦3等价于yTQ2Qy﹦y12﹢y22﹢y32﹦3；此时f﹦2y12﹢2y22－y32﹦6－3y32的最大值为6，所以f在xTx﹦3的条件下的最大值为6。 本题考查二次型的正交变换。考生可由题干给出的标准形得出二次型矩阵的特征值，进而由二次型矩阵及其对应的标准形矩阵的性质得到常数a，b的值。考生可由矩阵的特征方程解得矩阵的特征向量，对特征向量正交化、单位化，即可求出所用的正交变换矩阵。
解析
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考研数学一

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