2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

admin2020-06-05  59
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．
选项
答案(1)此二次型f的矩阵为 A＝[*] 由于二次型f的秩为2，即矩阵A的秩为2，故而 ｜A｜＝[*]＝24(a－3)＝0 从而a＝3． 又当a＝3时，矩阵A的特征多项式 ｜A－AE｜＝[*]＝﹣λ(λ－4)(λ－9) 所以A的特征值为λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9． (2)因为A的特征值为λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9，所以必存在正交变换 [*](其中P为正交矩阵) 使二次型在新变量y1，y2，y3下成为标准形f＝4y22＋9y32，于是，曲面f(x1，x2，x3)＝1在新变量下的方程为4y22＋9y32＝1，此方程在几何上表示准线是y2Oy31平面上椭圆、母线平行于y1轴的椭圆柱面，因此f(x1，x2，x3)＝1也表示椭圆柱面．
解析
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考研数学一

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