已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

admin2020-06-05 55

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)＝5x₁²＋5x₂²＋ax₃²－2x₁x₂＋6x₁x₃－6x₂x₃的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x₁，x₂，x₃)＝1表示何种二次曲面．

选项

答案(1)此二次型f的矩阵为 A＝[*] 由于二次型f的秩为2，即矩阵A的秩为2，故而｜A｜＝[*]＝24(a－3)＝0 从而a＝3．又当a＝3时，矩阵A的特征多项式｜A－AE｜＝[*]＝﹣λ(λ－4)(λ－9) 所以A的特征值为λ₁＝0，λ₂＝4，λ₃＝9． (2)因为A的特征值为λ₁＝0，λ₂＝4，λ₃＝9，所以必存在正交变换 [*](其中P为正交矩阵) 使二次型在新变量y₁，y₂，y₃下成为标准形f＝4y₂²＋9y₃²，于是，曲面f(x₁，x₂，x₃)＝1在新变量下的方程为4y₂²＋9y₃²＝1，此方程在几何上表示准线是y₂Oy₃₁平面上椭圆、母线平行于y₁轴的椭圆柱面，因此f(x₁，x₂，x₃)＝1也表示椭圆柱面．

解析

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考研数学一

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已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

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