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已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+ax32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2.(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值;(2)(数学一)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.
已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+ax32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2.(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值;(2)(数学一)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.
admin
2020-06-05
44
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+ax
3
2
-2x
1
x
2
+6x
1
x
3
-6x
2
x
3
的秩为2.(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值;(2)(数学一)指出方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=1表示何种二次曲面.
选项
答案
(1)此二次型f的矩阵为 A=[*] 由于二次型f的秩为2,即矩阵A的秩为2,故而 |A|=[*]=24(a-3)=0 从而a=3. 又当a=3时,矩阵A的特征多项式 |A-AE|=[*]=﹣λ(λ-4)(λ-9) 所以A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=4,λ
3
=9. (2)因为A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=4,λ
3
=9,所以必存在正交变换 [*](其中P为正交矩阵) 使二次型在新变量y
1
,y
2
,y
3
下成为标准形f=4y
2
2
+9y
3
2
,于是,曲面f(x
1
,x
2
,x
3
)=1在新变量下的方程为4y
2
2
+9y
3
2
=1,此方程在几何上表示准线是y
2
Oy
31
平面上椭圆、母线平行于y
1
轴的椭圆柱面,因此f(x
1
,x
2
,x
3
)=1也表示椭圆柱面.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mNv4777K
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考研数学一
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