2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx(其中x=(x1，x2，x3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换x=Qy(其中y=(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12，y22，y32，又设A*α=α(其中A*是A的伴随矩阵，α=(1，1，一

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx(其中x=(x1，x2，x3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换x=Qy(其中y=(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12，y22，y32，又设A*α=α(其中A*是A的伴随矩阵，α=(1，1，一

admin2020-07-03  22
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx(其中x=(x1，x2，x3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换x=Qy(其中y=(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12，y22，y32，又设A*α=α(其中A*是A的伴随矩阵，α=(1，1，一1)T)．求
(Ⅰ)Q及A；
(Ⅱ)可逆线性变换x=Cz(其中z=(z1，z2，z3)T，C是三阶可逆矩阵)，它将f(x1，x2，x3)化为规范形．
选项
答案(Ⅰ)A的特征值为2，一1，一1，|A|=2． 当λ=2时，A*的特征正值为1， 故λ=2所对应的特征向量为(1，1—1)T．设一1对应的特征向量为(a，b，c)， 即a+b一c=0， 其解为α1=(一1，1，0)T，α2=(1，0，1)T， 对其正交化得β1=(一1，1，0)T，β2=(1，1，2)
解析
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考研数学一

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