2. 考研
  3. 已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩阵的特征向量．判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解： 　

已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩阵的特征向量．判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解： 　

admin2020-02-27  71
问题 已知α＝[1，1，1]T是二次型＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3矩阵的特征向量．判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解：
　
选项
答案二次型矩阵是 [*] 设α是属于特征值λ0的特征向量，即A1α＝λ0α，或 [*] 由此可得 [*] 易解出 λ0＝3，b＝0，a＝2． 对于[*]，由于｜A1｜＝0，所以f不是正定二次型． 将a＝2，b＝0代入方程组，对系数矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵： [*] 当c＝6时，对B进一步用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到 [*] 则A2X＝0的一个基础解系含2个解向量： α1＝[一9，19，一7，1，0]T， α2＝[2，一7，2，0，1]T， 其通解为X＝k1α1＋k2α2，k1，k2为任意常数． 当c≠6即c－6≠0时，矩阵B用初等行变换进一步可化为含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 这时方程组A2X＝0的基础解系只含一个解向量： [一(3c一10)／14，一(23－2c)／7，0，一(c一8)／7，7]T． 为方便计，取 α3＝[一(3c一10)／2，一(23—2c)，0，一(c一8)，49]T ＝[5—3c／2，2c一23，0，(8一c)，49]T． 故当c≠6时，方程组A2X＝0的通解为k3α3，其中k3为任意常数．
解析 写出二次型矩阵A，由题设条件列出方程易求得a、b和α的特征值λ0．然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解．
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考研数学三

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