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  3. 设二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．

设二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0． 用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．

admin2019-01-25  42
问题 设二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0．
用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．
选项
答案[*] 先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵． 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量： 对B的第1，2两个列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，一1，0)T作施密特正交化： η1=α1/∥α∥1=[*](1，0，1)T，η2=β2/∥β2∥=[*](1，一1，一1)T． 求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交， [*] 即是方程组[*] 的非零解，求出α3=(1，2，一1)T是属于6的一个特征向量，单位化 η3=α3／∥α3∥=[*](1，2，-1)T． 记Q=(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵，Q-1AQ=[*] 作正交变换x=Qy，它xTAx化为标准二次型6y32．
解析
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考研数学一

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