证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵．

admin2020-09-29 13

问题证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵．

选项

答案设A=[*]与任意n阶方阵可交换，从而A与E_ij(i，j=1，2，…，n)可交换，其中E_ij表示第i行第j列的元素为1，而其余元素全为零的n阶方阵，则有： [*] 因为AE_ij=E_ijA，则有a_ii=a_jj，a_jk=0(k≠j，k=1，2，…，n)，a_ki=0(k≠i，k=1，2，…，n)，并且i，j=1，2，…，n．所以A=kE．而对任意n阶方阵B，均有(kE)B=kB=kBE=B(kE)，即kE可与任意n阶方阵交换．因此和任何n阶方阵可换的矩阵一定是数量矩阵．

解析

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考研数学一

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