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  3. 证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵．

证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵．

admin2020-09-29  15
问题 证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵．
选项
答案设A=[*]与任意n阶方阵可交换，从而A与Eij(i，j=1，2，…，n)可交换，其中Eij表示第i行第j列的元素为1，而其余元素全为零的n阶方阵，则有： [*] 因为AEij=EijA，则有aii=ajj，ajk=0(k≠j，k=1，2，…，n)，aki=0(k≠i，k=1，2，…，n)，并且i，j=1，2，…，n．所以A=kE． 而对任意n阶方阵B，均有(kE)B=kB=kBE=B(kE)，即kE可与任意n阶方阵交换．因此和任何n阶方阵可换的矩阵一定是数量矩阵．
解析
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考研数学一

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