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证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵.
证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵.
admin
2020-09-29
14
问题
证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵.
选项
答案
设A=[*]与任意n阶方阵可交换,从而A与E
ij
(i,j=1,2,…,n)可交换,其中E
ij
表示第i行第j列的元素为1,而其余元素全为零的n阶方阵,则有: [*] 因为AE
ij
=E
ij
A,则有a
ii
=a
jj
,a
jk
=0(k≠j,k=1,2,…,n),a
ki
=0(k≠i,k=1,2,…,n),并且i,j=1,2,…,n.所以A=kE. 而对任意n阶方阵B,均有(kE)B=kB=kBE=B(kE),即kE可与任意n阶方阵交换.因此和任何n阶方阵可换的矩阵一定是数量矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Svv4777K
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考研数学一
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