A是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为2，则( )。

admin2019-07-01 46

问题 A是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为2，则( )。

选项 A、A必有特征值1／2
B、A^－1必有特征值1／2
C、A必有特征值－2
D、A^－1必有特征值－2

答案B

解析解一设

由题设有A的各列元素之和为2，即

由特征值定义可知，2为A^T的一个特征值，又A^T与A有相同的特征值，故λ＝2也是A的一个特征值，所以1／λ＝1／2为A^－1的一个特征值，仅(B)入选。
解二由本书试卷七第20题的结论可知，因A^T各行元素之和均为2，故(A^T)^－1的各行元素之和均为1／2，即(A^T)^－1必有特征值1／2，又因(A^T)^－1＝(A^－1)^T，而(A^－1)^T与A^T有相同的特征值，故A^－1必有特征值1／2，仅(B)入选。

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