设f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f＂(x)≠0。证明：对于任意的x∈(一1，0)∪(0，1)，存在唯一的0(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf＇(θ(x)x)成立；

admin2019-01-19 49

问题设f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f＂(x)≠0。证明：
对于任意的x∈(一1，0)∪(0，1)，存在唯一的0(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf＇(θ(x)x)成立；

选项

答案由拉格朗日中值定理，对任意x∈(一1，1)，x≠0，存在θ∈(0，1)便 f(x)=f(0)+xf＇(θx)，(θ与x有关)。又由f＂(x)连续且f＂(x)≠0，故f＂(x)在(一1，1)不变号，所以f＇(x)在(一1，1)严格单调，θ唯一。

解析

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考研数学三

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