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设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．
设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．
admin
2019-08-26
78
问题
设n维列向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，向量β
2
不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对任意常数k，必有( )．
选项
A、 α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
B、 α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
C、 α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
D、 α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
【思路探索】对于抽象的向量组可以用定义法，也可以用排除法．
解：设有一组数字λ
1
，λ
2
，λ
3
，λ
4
，满足λ
1
ɑ
1
+λ
2
ɑ
2
+λ
3
ɑ
3
+λ
4
(kβ
1
+β
2
)=0，
若λ
4
=0，则有条件λ
1
=λ
2
=λ
3
=0，从而推出ɑ
1
，ɑ
2
，ɑ
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．
若λ
4
≠0，则kβ
1
+β
2
可由ɑ
1
，ɑ
2
，ɑ
3
线性表示，而β
1
可由ɑ
1
，ɑ
2
，ɑ
3
线性表示，故β
2
也可由ɑ
1
，ɑ
2
，ɑ
3
线性表示，矛盾，所以，λ
4
=0，从而(A)正确．对于其余三个选项，也可用排除法．
当k=0时，可排除(B)、(C)；当k=1时，可排除(D)．
故应选(A)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aSJ4777K
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考研数学三
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