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设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有( ).
设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有( ).
admin
2019-08-26
75
问题
设n维列向量α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,向量β
2
不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对任意常数k,必有( ).
选项
A、 α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
B、 α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
C、 α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
D、 α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
【思路探索】对于抽象的向量组可以用定义法,也可以用排除法.
解:设有一组数字λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
,满足λ
1
ɑ
1
+λ
2
ɑ
2
+λ
3
ɑ
3
+λ
4
(kβ
1
+β
2
)=0,
若λ
4
=0,则有条件λ
1
=λ
2
=λ
3
=0,从而推出ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.
若λ
4
≠0,则kβ
1
+β
2
可由ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
线性表示,而β
1
可由ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
线性表示,故β
2
也可由ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
线性表示,矛盾,所以,λ
4
=0,从而(A)正确.对于其余三个选项,也可用排除法.
当k=0时,可排除(B)、(C);当k=1时,可排除(D).
故应选(A).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aSJ4777K
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考研数学三
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