2. 考研
  3. 设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

admin2019-08-26  21
问题 设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有(    )．
选项 A、 α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B、 α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C、 α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
D、 α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
答案A
解析 【思路探索】对于抽象的向量组可以用定义法，也可以用排除法．
解：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1ɑ1+λ2ɑ2+λ3ɑ3+λ4 (kβ1+β2)=0，
若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出ɑ1，ɑ2，ɑ3，kβ1+β2线性无关．
若λ4≠0，则kβ1+β2可由ɑ1，ɑ2，ɑ3线性表示，而β1可由ɑ1，ɑ2，ɑ3线性表示，故β2也可由ɑ1，ɑ2，ɑ3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而(A)正确．对于其余三个选项，也可用排除法．
当k=0时，可排除(B)、(C)；当k=1时，可排除(D)．
故应选(A)．
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考研数学三

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