试证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2．

admin2015-09-10 20

问题试证：当x＞0时，(x²一1)lnx≥(x一1)²．

选项

答案令φ(x)=(x²一1)lnx一(x一1)²，易知φ(1)=0， φ’(x)=2xlnx+x一[*]一2(x一1)=2xlnx—x+2一[*] φ’(1)=0 φ"(x)=21nx+2—1+[*]，φ"(1)=2＞0 则φ(x)在x=1取得极小值．又x=1是φ(x)在(0，+∞)唯一的极值点，则φ(x)在x=1取得在区间(0，+∞)上的最小值．又φ(1)=0，则当x＞0时，φ(x)≥0，即 (x²一1)lnx≥(x一1)²

解析

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考研数学一

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求下列旋转体的体积V：(Ⅰ)由曲线y＝χ2，y＝y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体；(Ⅱ)由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．
设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f"(x0)=f"’(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．
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