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  3. 设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关

admin2021-11-09  59
问题 设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关
选项
答案经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有 (β，β+α1，β+α2，…，β+αt)→(β，α1，α2，…，αt)． 因此 r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=r(β，α1，α2，…，αt)． 由于α1，α2，...,αt是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α1，α2，...,αt)=t，又β必不能由α1，α2，...,αt线性表出(否则Aβ=0)，故r(α1，α2，...,αt,γ)=t+1． 所以 r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=t+1· 即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
解析
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考研数学二

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