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设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关
设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关
admin
2021-11-09
53
问题
设向量α
1
，α
2
，...,α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即A卢≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关
选项
答案
经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有 (β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)→(β，α
1
，α
2
，…，α
t
)． 因此 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=r(β，α
1
，α
2
，…，α
t
)． 由于α
1
，α
2
，...,α
t
是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α
1
，α
2
，...,α
t
)=t，又β必不能由α
1
，α
2
，...,α
t
线性表出(否则Aβ=0)，故r(α
1
，α
2
，...,α
t
,γ)=t+1． 所以 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=t+1· 即向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lcy4777K
0
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