设矩阵 (1)求A的特征值； (2)利用(1)的结果，求矩阵E+A－1的特征值，其中E是3阶单位矩阵．

admin2018-07-26 17

问题设矩阵

(1)求A的特征值；
(2)利用(1)的结果，求矩阵E+A^－1的特征值，其中E是3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由A的特征方程 |λE－A| [*] =(λ－1)(λ²+4λ－5)=(λ－1)²(λ+5)=0 得A的全部特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－5． (2)因为A为实对称矩阵，所以A必相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得 P^－1AP [*] 两端取逆矩阵，得 P^－1A^－1P [*] 所以 P^－1(E+A^－1)P=P^－1EP+P^－1A^－1P [*] 上式说明矩阵E+A^－1的全部特征值为：2，2，4／5．

解析

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