设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。

admin2015-12-03 13

问题设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且
[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x²y]dy=0
为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。

选项

答案由全微分方程的充要条件 [*] x²+2xy一f(x)=f"(x)+2xy，即f"(x)+f(x)=x²。解得f(x)=C₁cosx+C₂sinx+x²一2。由f(0)=0，f’(0)=1，求得C₁=2，C₂=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x²一2。于是原方程为 [xy²一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x²y)dy=0， [*]

解析

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考研数学一

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