2. 考研
  3. 设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。

设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。

admin2015-12-03  45
问题 设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且
[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0
为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。
选项
答案由全微分方程的充要条件 [*] x2+2xy一f(x)=f"(x)+2xy， 即f"(x)+f(x)=x2。 解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2。 由f(0)=0，f’(0)=1，求得C1=2，C2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2一2。 于是原方程为 [xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0， [*]
解析
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考研数学一

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