求下列幂级数的收敛域及其和函数:

admin2019-02-20  45

问题 求下列幂级数的收敛域及其和函数:

选项

答案由于[*]而且在x=±1处,级数[*]均发散,所以其收敛域为(-1,1). 为求其和函数,先进行代数运算,使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数.设 [*] 并令[*]则由 [*] 可得 [*] 从[*]可得,[*] 于是 [*] 故 S(x)=S1(x)-S2(x)+S3(x) [*] 当x=0时,上面的运算不能进行,然而从原级数可直接得出S(0)=a0=1.综合得幂级数[*]的和函数 [*] 容易看[*]这就说明S(x)在x=0处还是连续的,这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质.

解析
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