设二次型f(x1，x2，x3)＝4x22－3x32＋2ax1x2－4x1x3＋8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f＝y12＋6y22＋by32，求：正交变换矩阵Q。

admin2019-12-24 27

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝4x₂²－3x₃²＋2ax₁x₂－4x₁x₃＋8x₂x₃(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f＝y₁²＋6y₂²＋by₃²，求：
正交变换矩阵Q。

选项

答案由上一题可知二次型矩阵A＝[*]的特征值为λ₁＝1，λ₂＝6，λ₃＝－6。当λ₁＝1时，根据(E－A)x＝0得特征值λ₁＝1对应的特征向量为ξ₁＝[*] 当λ₂＝6时，根据(6E－A)x＝0得特征值λ₂＝6对应的特征向量为ξ₂＝[*] 当λ₃＝－6时，根据(－6E－A)x＝0得特征值λ₃＝－6对应的特征向量为ξ₃＝[*] 由于不同特征值所对应的特征向量必正交，故只需单位化即可。当ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化得γ₁＝[*]，γ₂＝[*]，γ₃＝[*]，故正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)＝4x22－3x32＋2ax1x2－4x1x3＋8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f＝y12＋6y22＋by32，求：正交变换矩阵Q。

考研数学三

设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)，y(a)=y(b)=0，其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在

设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，-2，4，0)T，c为任意。记B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程组Bx=α1-α2的通解。

二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为①求A．②证明A+E是正定矩阵．

a为什么数时二次型x12+3x22+2x32+2ax2x3可用可逆线性变量替换化为2y12一3y22+5y32?

A=，求作一个3阶可逆矩阵P,，使得PTAP是对角矩阵．

设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．

设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1A是对称矩阵．

设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明(1)A—bE和B—aE都可逆．(2)AB=BA．

设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，向量α1=(一1，1，1)T，α2=(2，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A．

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简述占有的效力。

水闸壤土地基人工开挖临近设计高程时，应留出()的保护层暂不开挖。

该公司应当向海关申请建立()。该公司从保税仓库提取ABS塑料粒子和色母料办理报关手续时，应填制()。

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