2. 考研
  3. 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且|A|=1 (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1．

设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且|A|=1 (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1．

admin2018-09-20  92
问题 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，证明下列结论：
(1)aij=AijATA=E且|A|=1
(2)aij=-AijATA=E且|A|=-1．
选项
答案(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以tr(AAT)=[*]．而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1． 反之，若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E=E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． (2)当aij=一Aij时，有AT=-A*，则ATA=一A*A=一|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，不妨假设其第j列存在非零元素，所以|A|=[*]在ATA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一1. 反之，若ATA=E且|A|=一1，由于A*A=|A|E=一E，于是ATA=-A*A．进一步，由于A可逆，得AT=-A*，即aij=-Aij．
解析
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考研数学三

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