设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且|A|=1 (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1．

admin2018-09-20 51

问题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为|A|中元素a_ij的代数余子式，证明下列结论：
(1)a_ij=A_ij

A^TA=E且|A|=1
(2)a_ij=-A_ij

A^TA=E且|A|=-1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A*，则A^TA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以tr(AA^T)=[*]．而tr(AA^T)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AA^T=|A|E两边取行列式，得|A|^n-2=1，|A|=1．反之，若A^TA=E且|A|=1，则A*A=|A|E=E且A可逆，于是A^TA=A*A，A^T=A*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=一A_ij时，有A^T=-A*，则A^TA=一A*A=一|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，不妨假设其第j列存在非零元素，所以|A|=[*]在A^TA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一1. 反之，若A^TA=E且|A|=一1，由于A*A=|A|E=一E，于是A^TA=-A*A．进一步，由于A可逆，得A^T=-A*，即a_ij=-A_ij．

解析

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考研数学三

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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且|A|=1 (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1．

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