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  3. 设有2个四元齐次线性方程组： 方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解？若没有，则说明理由．

设有2个四元齐次线性方程组： 方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解？若没有，则说明理由．

admin2016-12-16  100
问题 设有2个四元齐次线性方程组：

方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解？若没有，则说明理由．
选项
答案关于(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，可以用下列几种方法求之． 把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立起来直接求解，设联立方程组的系数矩阵为A，用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵，直接写出其基础解系，从而求出所有的非零公共解． [*] 由于n一r(A)=4一3=1，基础解系是[一1．，1，2，1]T ，从而方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有公共解，且所有的非零公共解为 k[一1，1，2，1]T ，k是任意非零实数： 通过(I)与(Ⅱ)各自的通解寻找公共解，为此，先求方程组(Ⅱ)的基础解系为 η1=[0，1，1，0]T ，η2=[一1，一1，0，1]T． 下求方程组(Ⅰ)的基础解系，由[*]知，其基础解系含2个解向量： ξ1=[0，0，1，0]T ，ξ2=[一1，1，0，1]T． 那么k1ξ1+k2ξ2 ，l1η1+l2η2分别是(Ⅰ)、(Ⅱ)的通解，令其相等，则有 k1[0，0，1，0]T+k2 [一1，1，0，1]T=l1[0，1，1，0]T+l2 [一1，一1，0，1]T ， 由此得 [一k2 ，k2 ，k1 ，k2]T=[一l2 ，l1一l2 ，l1 ，l2]T． 比较两个向量对应分量得到k1=l1=2k2=2l2所有非零公共解是 2k2[0，0，1，0] T+k2[一1，1，0，1]T=k2[一1，1，2，1]T ， 其中k2为非零任意常数．
解析 两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得．
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考研数学三

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