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设有2个四元齐次线性方程组: 方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解?若没有,则说明理由.
设有2个四元齐次线性方程组: 方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解?若没有,则说明理由.
admin
2016-12-16
82
问题
设有2个四元齐次线性方程组:
方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解?若没有,则说明理由.
选项
答案
关于(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解,可以用下列几种方法求之. 把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立起来直接求解,设联立方程组的系数矩阵为A,用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵,直接写出其基础解系,从而求出所有的非零公共解. [*] 由于n一r(A)=4一3=1,基础解系是[一1.,1,2,1]
T
,从而方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有公共解,且所有的非零公共解为 k[一1,1,2,1]
T
,k是任意非零实数: 通过(I)与(Ⅱ)各自的通解寻找公共解,为此,先求方程组(Ⅱ)的基础解系为 η
1
=[0,1,1,0]
T
,η
2
=[一1,一1,0,1]
T
. 下求方程组(Ⅰ)的基础解系,由[*]知,其基础解系含2个解向量: ξ
1
=[0,0,1,0]
T
,ξ
2
=[一1,1,0,1]
T
. 那么k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
,l
1
η
1
+l
2
η
2
分别是(Ⅰ)、(Ⅱ)的通解,令其相等,则有 k
1
[0,0,1,0]
T
+k
2
[一1,1,0,1]
T
=l
1
[0,1,1,0]
T
+l
2
[一1,一1,0,1]
T
, 由此得 [一k
2
,k
2
,k
1
,k
2
]
T
=[一l
2
,l
1
一l
2
,l
1
,l
2
]
T
. 比较两个向量对应分量得到k
1
=l
1
=2k
2
=2l
2
所有非零公共解是 2k
2
[0,0,1,0]
T
+k
2
[一1,1,0,1]
T
=k
2
[一1,1,2,1]
T
, 其中k
2
为非零任意常数.
解析
两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tBH4777K
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考研数学三
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