设有2个四元齐次线性方程组: 方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解?若没有,则说明理由.

admin2016-12-16  53

问题 设有2个四元齐次线性方程组:

方程组①和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解?若没有,则说明理由.

选项

答案关于(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解,可以用下列几种方法求之. 把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立起来直接求解,设联立方程组的系数矩阵为A,用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵,直接写出其基础解系,从而求出所有的非零公共解. [*] 由于n一r(A)=4一3=1,基础解系是[一1.,1,2,1]T ,从而方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有公共解,且所有的非零公共解为 k[一1,1,2,1]T ,k是任意非零实数: 通过(I)与(Ⅱ)各自的通解寻找公共解,为此,先求方程组(Ⅱ)的基础解系为 η1=[0,1,1,0]T ,η2=[一1,一1,0,1]T. 下求方程组(Ⅰ)的基础解系,由[*]知,其基础解系含2个解向量: ξ1=[0,0,1,0]T ,ξ2=[一1,1,0,1]T. 那么k1ξ1+k2ξ2 ,l1η1+l2η2分别是(Ⅰ)、(Ⅱ)的通解,令其相等,则有 k1[0,0,1,0]T+k2 [一1,1,0,1]T=l1[0,1,1,0]T+l2 [一1,一1,0,1]T , 由此得 [一k2 ,k2 ,k1 ,k2]T=[一l2 ,l1一l2 ,l1 ,l2]T. 比较两个向量对应分量得到k1=l1=2k2=2l2所有非零公共解是 2k2[0,0,1,0] T+k2[一1,1,0,1]T=k2[一1,1,2,1]T , 其中k2为非零任意常数.

解析 两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得.
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