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求函数f(x,y,z)=x+y-z2+5在区域D:x2+y2+z2≤2上的最大值和最小值。
求函数f(x,y,z)=x+y-z2+5在区域D:x2+y2+z2≤2上的最大值和最小值。
admin
2019-12-06
65
问题
求函数f(x,y,z)=x+y-z
2
+5在区域D:x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值和最小值。
选项
答案
首先,求f(x,y,z)在D内部的极值。由f
x
’
(x,y,z)=1知f(x,y,z)在区域内无驻点,故f(x,y,z)的最大值,最小值都只能在边界上取得。接下来求f(x,y,z)=x+y-z
2
+5在D的边界上的极值。 边界上的极值属于条件极值,在x
2
+y
2
+z
2
=2的条件下,设拉格朗日函数为 F(x,y,z,λ)=x+y-z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
-2), 得方程组 [*] 由前两个式子可得x=y,由第三个式子可得z=0或者λ=1。将x=y,z=0代入最后一个式子得x=y=±1,z=0。当x=y,λ=1时,得x=y=[*],z=[*],因此得驻点p
1
(﹣1,﹣1,0),p
2
(1,1,0),p
3
[*],p
4
[*],故 f(p
1
)=3,f(p
2
)=7,f(p
3
)=f(p
4
)=5/2。 综上所述,函数f(x,y)在区域D上的最小值为5/2,最大值为7。
解析
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