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  3. 求函数f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在区域D：x2＋y2＋z2≤2上的最大值和最小值。

求函数f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在区域D：x2＋y2＋z2≤2上的最大值和最小值。

admin2019-12-06  60
问题 求函数f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在区域D：x2＋y2＋z2≤2上的最大值和最小值。
选项
答案首先，求f(x，y，z)在D内部的极值。由fx’(x，y，z)＝1知f(x，y，z)在区域内无驻点，故f(x，y，z)的最大值，最小值都只能在边界上取得。接下来求f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在D的边界上的极值。 边界上的极值属于条件极值，在x2＋y2＋z2＝2的条件下，设拉格朗日函数为 F(x，y，z，λ)＝x＋y－z2＋5＋λ(x2＋y2＋z2－2)， 得方程组 [*] 由前两个式子可得x＝y，由第三个式子可得z＝0或者λ＝1。将x＝y，z＝0代入最后一个式子得x＝y＝±1，z＝0。当x＝y，λ＝1时，得x＝y＝[*]，z＝[*]，因此得驻点p1(﹣1，﹣1，0)，p2(1，1，0)，p3[*]，p4[*]，故 f(p1)＝3，f(p2)＝7，f(p3)＝f(p4)＝5/2。 综上所述，函数f(x，y)在区域D上的最小值为5/2，最大值为7。
解析
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考研数学二

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